不需要申请延期。

申请延期是一种违约行为，应在合同中规定并同意，否则将受到相应的法律责任。然而，在中邮消费金融的借款合同中，没有明确规定逾期一天就必须要申请延期，因此并不需要进行此项手续。

其次，即使借款人逾期一天未还款，银行也不会立即对其采取违约行为，因为受法律限制，银行必须在一定期限后才能采取相应的法律措施。

要注意的是，虽然不需要申请延期，但是逾期还款会对借款人造成一定的信用损害，可能会影响以后的信贷记录，甚至影响到未来的借贷机会。因此建议借款人在逾期还款后尽快与银行联系，协商处理方式，并要及时偿还欠款。

在法律方面，逾期还款会对借款人造成法律责任，中邮消费金融将有权采取法定措施，如向公安机关报案、采取法律手段追偿等。在极端情况下，借款人可能会面临法律诉讼和财产被查封、冻结等后果。

综上所述，虽然不需要申请延期，但建议及时还款避免不必要的信用损失和法律风险。