银行客服处罚逾期信用卡还款的方式一般有四种：费用加罚、影响信用记录、法律途径和拒绝续卡办理。

首先，兴业银行客服会对逾期未还款的用户进行费用加罚。兴业银行在协议中注明了透支费用、利息、滞纳金等罚款，逾期未还款的用户必须承担这些费用。具体罚款数额根据逾期天数和透支额度而定。例如，逾期未还一天就要承担5元的滞纳金，逾期超过30天还款就要承担本金2%的滞纳金。

其次，逾期还款对个人信用记录造成不良影响。所有银行和小额贷款公司都会将个人的信用记录上报到征信机构，逾期未还款的记录也会被反馈到信用记录中。这将会对个人未来的贷款和信用卡办理造成影响。

第三，兴业银行客服也会使用法律途径强制逾期还款。根据《中华人民共和国合同法》以及《中华人民共和国民事诉讼法》等法律法规，银行可以通过法院起诉逾期用户，追缴欠款并追究债务人的法律责任。

最后，兴业银行客服也有权利拒绝为逾期还款的用户办理信用卡续卡。如何信用记录不佳、逾期未还款多次等情况都会影响到银行对用户的信任程度，从而导致拒绝为其办理续卡。

总之，逾期未还款是一种严重违约行为，将会给用户带来诸多不利后果。因此，建议用户在还款日之前尽早还清欠款，避免不必要的经济损失和信用记录受损的影响。