<肯定性答案>江西工商银行会起诉逾期还不上的借款人。

首先，按照《中华人民共和国合同法》的规定，借款人应当按照合同约定的期限和方式履行还款义务。如果借款人未能按时偿还借款，构成违约，银行有权要求其履行还款义务，并要求其承担违约金等费用。

其次，根据《中华人民共和国民事诉讼法》的规定，债权人可以向人民法院提起诉讼，要求债务人承担未履行还款义务的全部或部分，其中包括本金、利息、逾期利息和违约金等。

此外，银行与借款人签订的贷款合同中往往会约定类似于“逾期还款，银行有权采取法律手段追究借款人法律责任”的条款，这也为银行起诉逾期还款的借款人提供了法律依据。

因此，就债务人逾期不还款这一情况而言，江西工商银行完全有权利向法院提起诉讼，要求债务人承担未履行还款义务的全部或部分，并承担违约金、逾期利息等费用。

最后，从法律后果的角度来看，借款人若被判决承担全部或部分债务，还需要承担违约金、逾期利息等费用，同时也会在个人信用记录中被记录为逾期还款，这将影响其今后的信用评级和借款申请。

综上所述，江西工商银行逾期不还款的借款人确实可能会被起诉，并且承担一定的法律后果。因此，作为借款人，应当严格按照还款合同履行还款义务，避免不必要的法律风险。