不会。

小米金融在违约后不会发邮件通知紧急联系人。这是因为小米金融在客户注册时，只要求客户填写联系人信息，而不是紧急联系人信息。因此，小米金融并不知道客户的紧急联系人是谁。

此外，根据个人信息保护法的相关规定，公司只能在明确知晓客户授权同意的情况下，才能收集、使用和披露客户个人信息。如果小米金融擅自使用客户的紧急联系人信息，将会违反相关法律法规，可能会被依法追究责任。

因此，小米金融在违约后只能通过其他渠道联系客户本人，并要求客户尽快还款。客户在注册时，也应该认真填写个人信息，并定期更新个人联系方式，以便及时接收小米金融的还款提醒和其他相关信息。

最后，从法律后果的角度来看，如果小米金融违反约定、无故拖延或拒绝向客户支付应付的债务，客户可以通过法律手段维护自己的合法权益。如果客户受到损失，可以要求小米金融承担相应的赔偿责任。

综上所述，小米金融在违约后不会发邮件通知客户的紧急联系人。客户在注册时应认真填写个人信息并定期更新，以便及时接收与小米金融相关的信息。同时，客户也应当了解自己的权利和维权途径。