当中邮消费金融的借款人出现逾期行为时，紧急联系人需要及时采取行动，以尽快解决逾期问题。

首先，紧急联系人需要与借款人沟通，了解逾期原因和情况。根据情况，可以选择协助借款人还款、协调延期还款或者跟进解决方案等等。

其次，紧急联系人需要密切关注借款人的还款进度，及时向中邮消费金融提供反馈并配合相关部门开展后续工作。

同时，紧急联系人还需要了解和遵守中邮消费金融的相关政策和规定，积极与相关部门协作，推动问题解决。

此外，紧急联系人在协助借款人还款的过程中，需注意收集相关证据，例如与借款人的沟通记录、支付凭证等，以备后续需要。

最后，若逾期行为已经造成了一定程度的不良影响，例如信用状况的下降等等，紧急联系人需要与借款人一起主动承担责任，协助借款人尽快恢复良好的信用记录。

法律后果角度分析：在中邮消费金融的借款合同中规定了借款人需要提供紧急联系人的信息，并且约定了逾期还款的违约金和利息等费用。若借款人严重逾期并且未能及时与中邮消费金融联系并还款，中邮消费金融有权利采取追偿程序，追究借款人及紧急联系人相关的法律责任。所以，紧急联系人需要认真履行职责，积极配合中邮消费金融的工作，以免后果严重影响到自身的信用记录和生活。